Що таке гіперболоїд: рівняння, побудова, загальні характеристики

Щоб читачеві було легше уявити собі, що таке Гіперболоїд-тривимірний об`єкт, - спочатку треба розглянути однойменну криву гіперболу , що поміщається в двовимірний простір.

У гіперболи є дві осі: дійсна, на даному малюнку збігається з віссю абсцис, і уявна - з віссю ординат. Якщо подумки почати провертати рівняння гіперболи навколо її уявної осі, то поверхня, "замітати" кривої, складе з себе одностатевої Гіперболоїд.

Якщо ж почати обертати таким чином гіперболу навколо її дійсної осі, то кожна з двох "половинка" крива складе свою окрему поверхню, і разом це буде називатися двопорожнинним гіперболоїдом.

Отримані за допомогою обертання відповідної плоскої кривої, вони називаються відповідно гіперболоїдами обертання. У них у всіх напрямках, перпендикулярних осі обертання, зберігаються параметри, що належать обертової кривої. У загальному випадку це не так.

Рівняння гіперболоїда

У загальному випадку поверхня може бути задана наступними рівняннями в декартових координатах (x, y, z):

У разі гіперболоїда обертання його симетрія щодо осі, навколо якої обертали, виражається в рівності коефіцієнтів a=b.

Характеристики гіперболоїда

У нього є фокус. Ми знаємо, що фокуси є у кривих на площині - у випадку з гіперболою, наприклад, модуль різниці відстаней від довільної точки, на гіперболі до одного фокуса і другого постійний за визначенням, власне, точок фокуса.

При переході в тривимірний простір визначення практично не змінюється: фокуси-це знову дві точки, і різниця відстаней від них до довільної точки, що належить поверхні гіперболоїда, постійна. Як видно, зі змін з`явилася тільки третя координата у всіх можливих точок, тому що тепер вони задаються в просторі. Взагалі кажучи, визначення фокусу еквівалентно виявленню типу кривої або поверхні: говорячи про те, як розташовані точки поверхні відносно фокусів, ми фактично відповідаємо на питання, Що таке Гіперболоїд і як він виглядає.

Варто згадати, що у гіперболи є асимптоти-прямі, до яких її гілки прагнуть на нескінченності. Якщо при побудові гіперболоїда обертання подумки обертати асимптоти разом з гіперболою, то крім гіперболоїда вийде ще й конус, званий асимптотичним. Асимптотичний конус є як у одностатевих, так і у двостулкових гіперболоїдів.

Ще одна важлива характеристика, наявна лише у однопорожнинного гіперболоїда, - прямолінійні утворюють. Як видно з назви, це лінії, і вони повністю лежать на заданій поверхні. Через кожну точку одностатевого гіперболоїда проходять дві прямолінійні утворюють. Вони належать відповідно двом родинам прямих, які описуються наступними системами рівнянь:

Таким чином, одностатевий Гіперболоїд цілком можна скласти з нескінченного числа прямих ліній двох сімейств, причому кожна лінія одного з них буде перетинатися з усіма лініями іншого. Поверхні, що відповідають таким властивостям, називаються лінійчастими; їх можна побудувати за допомогою обертання однієї прямої. Визначення через взаємне розташування прямих (прямолінійних утворюють) в просторі також може служити однозначним позначенням того, що таке Гіперболоїд.

Цікаві властивості гіперболоїда

Криві другого порядку і відповідні їм поверхні обертання кожна мають цікаві оптичні властивості, пов`язані з фокусами. У випадку з гіперболоїдом це формулюється наступним чином: якщо з одного фокуса випустити промінь, то, відбившись від найближчої "стінка", він прийме такий напрямок, як ніби йшов з другого фокусу.

Гіперболоїди в житті

Швидше за все, більшість читачів починали своє знайомство з аналітичною геометрією і поверхнями другого порядку з фантастичного роману Олексія Толстого "Гіперболоїд інженера Гаріна". Однак письменник чи то сам гарненько не знав, що таке Гіперболоїд, то чи пожертвував точністю на догоду художності: описується винахід за фізичними характеристиками швидше є параболоїдом, який збирає всі промені в одному фокусі (в той час як оптичні властивості гіперболоїда пов`язані з розсіюванням променів).

В архітектурі дуже популярні так звані гіперболоїдні конструкції: це споруди, за формою є одностатевим гіперболоїдом або гіперболічним параболоїдом. Справа в тому, що тільки у цих поверхонь обертання другого порядку є прямолінійні утворюють: таким чином, вигнуту конструкцію можна спорудити тільки з прямих балок. Переваги таких конструкцій-в здатності витримувати великі навантаження, наприклад, від вітру: форму гіперболоїда використовують при будівництві високих споруд, наприклад, телевеж.