Аналітичний сигнал: поняття, формули визначення та застосування

В математиці і обробці поняття аналітичного сигналу (для стислості - з, АС) є комплексною функцією, яка не має негативних частотних складових. Дійсна і уявна частини цього явища є реальними функціями, пов`язаними один з одним перетворенням Гільберта. Аналітичний сигнал-це в хімії досить поширене явище, суть якого аналогічна математичному визначенню цього поняття.

Уявлення

Аналітичне представлення реальної функції - це аналітичний сигнал, що містить оригінальну функцію та її перетворення Гільберта. Це представлення полегшує багато математичних маніпуляцій. Основна ідея полягає в тому, що негативні частотні компоненти перетворення Фур`є (АБО спектра) реальної функції надлишкові через ермітову симетрію такого спектру. Ці негативні частотні компоненти можуть бути відкинуті без втрати інформації, за умови, що замість цього ви захочете мати справу зі складною функцією. Це робить певні атрибути функції більш доступними та полегшує виведення методів модуляції та демодуляції, таких як односмугова смуга.

Негативні компоненти

Поки маніпульована функція не має негативних частотних компонентів (тобто вона все ще аналітична), перетворення зі складного назад у реальне-це лише питання відкидання уявної частини. Аналітичне представлення є узагальненням концепції вектора: хоча вектор обмежений амплітудою, фазою та частотою, незмінною в часі, якісний аналіз аналітичного сигналу дозволяє змінні в часі параметри.

Миттєва амплітуда, миттєва фаза і частота в деяких додатках використовуються для вимірювання і виявлення локальних особливостей з. Інше застосування аналітичного подання стосується демодуляції модульованих сигналів. Полярні координати зручно розділяють ефекти амплітудної модуляції та фазової (або частотної) модуляції та ефективно демодулюють певні види.

Тоді простий фільтр низьких частот з реальними коефіцієнтами може обрізати цікаву частину. Іншим мотивом є зниження максимальної частоти, що знижує мінімальну частоту для вибірки без псевдонімів. Зсув частоти не підриває математичну придатність подання. Таким чином, у цьому сенсі перетворений з пониженням все ще є аналітичним. Однак відновлення реального подання вже не є простою справою простого вилучення реального компонента. Може знадобитися перетворення з посиленням частоти, і якщо сигнал дискретизований( дискретний час), може також знадобитися інтерполяція (збільшення вибірки), щоб уникнути накладання.

Змінна

Концепція чітко визначена для явищ однієї змінної, яка зазвичай є тимчасовою. Ця тимчасовість бентежить багатьох початківців математиків. Для двох або більше змінних аналітичний C може бути визначений по-різному, і два підходи представлені нижче.

Дійсна і уявна частини цього феномена відповідають двом елементам векторнозначного моногенного сигналу, як це визначено для аналогічних феноменів з однією змінною. Тим не менш, моногенний може бути розширений до довільної кількості змінних простим способом, створюючи (N + 1) -вимірну векторну функцію для випадку n-змінних сигналів.

Перетворення сигналів

Ви можете перетворити реальний сигнал в аналітичний, додавши уявний (Q) компонент, який є перетворенням реального компонента Гільберта.

До речі, це не нове для його цифрової обробки. Один з традиційних способів генерації AM з однією бічною смугою (SSB) - метод фазування-включає в себе створення сигналів шляхом генерації перетворення Гільберта аудіосигналу в аналоговій мережі резистор-конденсатор. Оскільки він має лише позитивні частоти, його легко перетворити в модульований радіочастотний сигнал лише з однією бічною смугою.

Формули визначення

Аналітичний вираз сигналу-це голоморфна комплексна функція, визначена на межі верхньої комплексної напівплощини. Межа верхньої півплощини збігається з рандомом, тому з задається відображенням fa: R → C. Починаючи з середини минулого століття, коли в 1946 році Дені Габор запропонував використовувати цей феномен для вивчення постійної амплітуди і фази, сигнал знайшов безліч застосувань. Особливість цього явища була підкреслена [Vak96], де було показано, що тільки якісний аналіз аналітичного сигналу відповідає фізичним умовам для амплітуди, фази і частоти.

Останні досягнення

Протягом останніх кількох десятиліть з`явився інтерес до дослідження сигналу у багатьох вимірах, мотивованих проблемами, що виникають у сферах, від обробки зображень / відео до багатовимірних коливальних процесів у фізиці, таких як сейсмічні, Електромагнітні та гравітаційні хвилі. В основному було прийнято, що для правильного Узагальнення аналітичного C (якісного аналізу) на випадок декількох вимірів слід покладатися на алгебраїчну конструкцію, яка розширює звичайні комплексні числа зручним чином. Такі конструкції зазвичай називають гіперкомплексними числами [SKE].

Нарешті, слід мати можливість побудувати Гіперкомплексний аналітичний сигнал fh: Rd → S, де представлена деяка загальна гіперкомплексна алгебраїчна система, яка природним чином розширює всі необхідні властивості для отримання миттєвої амплітуди та фази.

Вивчення

Ряд робіт присвячений різним питанням, пов`язаним з правильним вибором гіперкомплексної системи числення, визначення гіперкомплексного перетворення Фур`є і дробових перетворень Гільберта для вивчення миттєвої амплітуди і фази. В основному ці роботи базувались на властивостях різних просторів, таких як Cd, кватерніони, алгебри Клірона та конструкції Кейлі-Діксона.

Далі ми перерахуємо лише деякі з робіт, присвячених дослідженню сигналу в багатьох вимірах. Наскільки нам відомо, перші роботи з багатовимірного методу були отримані на початку 1990-х років. До них можна віднести роботу Елл [Ell92] з гіперкомплексних перетворень; роботу Бюлова з узагальнення методу аналітичної реакції (аналітичного сигналу) на багато вимірів [BS01] і роботу Фельсберга і Соммера про моногенні сигнали.

Подальші перспективи

Очікується, що Гіперкомплексний сигнал розширить усі корисні властивості, які ми маємо в одновимірному випадку. Перш за все ми повинні бути в змозі витягти і узагальнити миттєву амплітуду і фазу до вимірювань. По-друге, спектр Фур`є складного аналітичного сигналу підтримується лише на позитивних частотах, тому ми очікуємо, що гіперкомплексне перетворення Фур`є матиме свій гіперзначний спектр, який буде підтримуватися лише в деякому позитивному квадранті гіперкомплексного простору. Тому це дуже важливо.

По-третє, спряжені частини складного поняття аналітичного сигналу пов`язані з перетворенням Гільберта, і ми можемо очікувати, що спряжені компоненти в гіперкомплексному просторі повинні бути пов`язані також деякою комбінацією перетворень Гільберта. І, нарешті, дійсно, Гіперкомплексний сигнал повинен бути визначений як продовження деякої гіперкомплексної голоморфної функції декількох гіперкомплексних змінних, визначених на межі деякої форми в гіперкомплексному просторі.

Ми вирішуємо ці проблеми в послідовному порядку. Перш за все, ми почнемо з розгляду інтегральної Формули Фур`є і покажемо, що перетворення Гільберта в 1-D пов`язане з модифікованою інтегральною формулою Фур`є. Цей факт дозволяє нам визначати миттєву амплітуду, фазу та частоту без будь-якого посилання на гіперкомплексні системи числення та голоморфні функції.

Модифікування інтегралів

Ми продовжуємо, узагальнюючи модифіковану формулу інтеграла Фур`є на кілька вимірів, і визначаємо всі необхідні фазово-зміщені компоненти, які ми можемо зібрати в миттєву амплітуду та фазу. По-друге, ми звернемося до питання про існування голоморфних функцій декількох гіперкомплексних змінних. Після роботи [Sch93] виявляється, що комутативна та асоціативна алгебра гіперкомплексу, породжена набором еліптичних (e2i = -1) генераторів, є відповідним простором, для того, щоб Гіперкомплексний аналітичний сигнал міг жити, ми називаємо таку гіперкомплексну алгебру простором Шеферса і позначаємо її Sd.

Тому гіперкомплекс аналітичних сигналів визначається як голоморфна функція на межі полідиска / верхньої половини площини в деякому гіперкомплексному просторі, який ми називаємо загальним простором Шеферса, і позначаємо через Sd. Потім ми спостерігаємо справедливість інтегральної формули Коші для функцій Sd → Sd, які обчислюються з гіперповерхні всередині полідиска в Sd і виводять відповідні дробові перетворення Гільберта, які пов`язують гіперкомплексні Сполучені компоненти. Нарешті, виявляється, що перетворення Фур`є зі значеннями в просторі Шеферса підтримується лише на невід`ємних частотах. Завдяки цій статті ви дізналися, що є аналітичним сигналом.