Як знаходити добуток матриць. Множення матриць. Скалярний добуток матриць. Добуток трьох матриць

З матрицями (таблицями з числовими елементами) можуть проводитися різні обчислювальні дії. Одні з них-множення на число, вектор, іншу матрицю, кілька матриць. Твір іноді виходить невірним. Помилковий результат-підсумок незнання правил виконання обчислювальних дій. Давайте розберемося, як слід здійснювати множення.

Матриця і число

Почнемо з найпростішого-з множення таблиці з числами на конкретну величину. Наприклад, ми маємо матрицю A з елементами a_ij (i - номери рядків, а j - номери стовпців) і число e. Добутком матриці на число e буде матриця B з елементами b_ij, які знаходяться за формулою:

b_ij = e × a_ij.

Ґатунок. е. для отримання елемента b₁₁ потрібно взяти елемент a₁₁ і помножити його на потрібне число, для отримання b₁₂ потрібно знайти твір елемента a₁₂ і числа e і т. д.

Вирішимо задачу № 1, представлену на картинці. Для отримання матриці B просто помножимо елементи з A на 3:

1. a₁₁ × 3 = 18. Це значення записуємо в матрицю B в те місце, де перетинаються стовпець № 1 і Рядок № 1.
2. a₂₁ × 3 = 15. Ми отримали елемент b₂₁.
3. a₁₂ × 3 = –6. Ми отримали елемент b₁₂. Записуємо його в матрицю B в місце, де перетинаються стовпець № 2 і Рядок № 1.
4. a₂₂ × 3 = 9. Даний результат-це елемент b₂₂.
5. a₁₃ × 3 = 12. Дане число вносимо в матрицю на місце елемента b₁₃.
6. a₂₃ × 3 = –3. Останнє отримане число-це елемент b₂₃.

Таким чином, ми отримали прямокутний масив з числовими елементами.

Вектори та умова існування добутку матриць

У математичних дисциплінах існує таке поняття, як «вектор». Під цим терміном розуміється впорядкований набір величин від a₁ до a_n. Вони називаються координатами векторного простору і записуються у вигляді стовпця. Ще є термін «транспонований вектор». Його компоненти розташовуються в вигляді рядка.

Вектори можна називати матрицями:

• вектор стовпця-це матриця, Побудована з одного стовпця;
• вектор-рядок-це матриця, яка включає в себе тільки один рядок.

При виконанні над матрицями операцій множення важливо пам`ятати про те, що є умова існування твору. Обчислювальну дію A × B можна виконати лише тоді, коли кількість стовпців у таблиці a дорівнює кількості рядків у таблиці B. Підсумкова матриця, що отримується в результаті обчислення, завжди має число рядків таблиці A і число стовпців таблиці B.

При множенні не рекомендується переставляти місцями матриці (множники). Їх добуток зазвичай не відповідає комутативному (переместительному) закону множення, т. е. результат операції a × b Не дорівнює результату операції B × A. Така особливість іменується некомутативністю твори матриць. У деяких випадках результат множення A × B дорівнює результату множення B × A, т. е. твір коммутативно. Матриця, при яких рівність A × B = B × A виконується, називаються перестановочними. З прикладами таких таблиць можна ознайомитися нижче.

Множення на вектор-стовпець

При виконанні множення матриці на вектор-стовпець обов`язково враховуємо умову існування твору. Число стовпців (n) в таблиці повинно збігатися з кількістю координат, з яких складений вектор. Результат обчислення-перетворений вектор. Його кількість координат дорівнює числу рядків (m) з таблиці.

Як обчислюються координати вектора y, якщо є матриця A і вектор x? Для розрахунків створені формули:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n,

…………………………………,

y_m = a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n,

де x₁, …, x_n - координати з x-вектора, m - число рядків в матриці і кількість координат в новому y-векторі, n-число стовпців в матриці і кількість координат в x-векторі, a₁₁, a₁₂, …, a_mn - елементи матриці A.

Таким чином, для отримання I-ї компоненти нового вектора виконується скалярний добуток. З матриці A береться I-й вектор-рядок, і вона множиться на наявний вектор x.

Вирішимо задачу № 2. Добуток матриці на вектор знайти можна, адже A має 3 стовпці, і x складається з 3 координат. В результаті ми повинні отримати вектор стовпця з 4 координатами. Скористаємося вищевказаними формулами:

1. Обчислимо y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Підсумкове значення дорівнює 2.
2. Обчислимо y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). При розрахунку отримаємо 0.
3. Обчислимо y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Сума творів зазначених множників дорівнює 6.
4. Обчислимо y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Координата дорівнює -8.

Множення вектор-рядка на матрицю

Не можна помножити матрицю, що складається з декількох стовпців, на вектор-рядок. У таких випадках не виконується умова існування твору. А ось множення вектор-рядки на матрицю можливо. Ця обчислювальна операція виконується при збігу кількості координат у векторі і числа рядків в таблиці. Результат добутку вектора на матрицю-новий вектор-рядок. Її кількість координат має дорівнювати числу стовпців в матриці.

Обчислення першої координати нового вектора має на увазі множення вектор-рядка і першого вектор-стовпця з таблиці. Аналогічним способом проводиться розрахунок другої координати, але замість першого вектор-стовпця береться вже другий вектор-стовпець. Ось загальна формула для обчислення координат:

y_k = a_1kx₁ + a_2kx₂ + … + a_mkx_m,

де y_k - координата з y-вектора, (k знаходиться в проміжку від 1 до n), m-число рядків в матриці і кількість координат в x-векторі, n-число стовпців в матриці і кількість координат в y-векторі, a З буквено-цифровими індексами-елементи матриці A.

Добуток прямокутних матриць

Ця обчислювальна дія може здатися складною. Однак множення легко виконується. Почнемо з визначення. Добуток матриці A З M рядками і N стовпцями і матриці B з n рядками і P стовпцями - це матриця C з m рядками і P стовпцями, в якій елемент c_ij являє собою суму добутків елементів i-го рядка з таблиці A і j-го стовпця з таблиці B. Якщо говорити більш простою мовою, то елемент c_ij - це скалярний добуток i-й вектор-рядки з таблиці A і j-го вектор-стовпця з таблиці B.

Тепер розберемося на практиці в тому, як знаходити твір матриць прямокутного виду. Вирішимо для цього завдання № 3. Умова існування твору виконується. Приступимо до розрахунку елементів c_ij:

1. Матриця C буде складатися з 2 рядків і 3 стовпців.
2. Розрахуємо елемент c₁₁. Для цього виконаємо скалярний добуток рядка № 1 з матриці A і стовпця № 1 з матриці B. c₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Далі чинимо аналогічним чином, змінюючи тільки рядки, стовпці (в залежності від індексу елемента).
3. c₁₂ = 12.
4. c₁₃ = 9.
5. c₂₁ = 31.
6. c₂₂ = 18.
7. c₂₃ = 36.

Елементи розраховані. Тепер залишилося тільки скласти прямокутний блок з отриманих чисел.

Множення трьох матриць: теоретична частина

Чи можна знайти добуток трьох матриць? Ця обчислювальна операція здійсненна. Результат можна отримати кількома способами. Наприклад, є 3 квадратні таблиці (одного порядку – - A, B і C. Щоб обчислити добуток, можна:

1. Помножте спочатку A і B. Результат потім помножити на C.
2. Знайти спочатку добуток B і C. Далі матрицю A помножити на отриманий результат.

Якщо потрібно перемножити матриці прямокутного виду, то спочатку потрібно упевнитися в тому, що дана обчислювальна операція можлива. Повинні існувати добутки A × B і B × C.

Поетапне множення не є помилкою. Є таке поняття, як " асоціативність множення матриць». Під цим терміном розуміється рівність (A × B) × C = A × (B × C).

Множення трьох матриць: практика

Квадратні матриці

Почнемо з множення невеликих квадратних матриць. Нижче на малюнку представлена задача № 4, яку нам належить вирішити.

Будемо користуватися властивістю асоціативності. Перемножимо спершу або A і B, або B і C. Пам`ятаємо тільки одне: не можна переставляти місцями множники, т. е. не можна множити B × A або C × B. При такому множенні ми отримаємо помилковий результат.

Хід рішення.

Крок перший. Для знаходження загального добутку помножимо спочатку A На B. При множенні двох матриць будемо керуватися тими правилами, які були викладені вище. Отже, результатом множення A і B буде матриця D з 2 рядками і 2 стовпцями, т. е. прямокутний масив буде включати в себе 4 елементи. Знайдемо їх, виконавши розрахунок:

• d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Проміжний результат готовий.

Крок другий. Тепер помножимо матрицю D на матрицю C. Результатом має бути квадратна матриця G з 2 рядками та 2 стовпцями. Розрахуємо елементи:

• g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Таким чином, результатом добутку квадратних матриць є таблиця G з обчисленими елементами.

Прямокутна матриця

Нижче на малюнку представлена задача № 5. Потрібно перемножити прямокутні матриці і знайти рішення.

Перевіримо, чи виконується умова існування творів A × B і B × C. Порядки зазначених матриць дозволяють нам виконувати множення. Приступимо до вирішення завдання.

Хід рішення.

Крок перший. Помножимо B на C для отримання D. Матриця B містить 3 рядки та 4 стовпці, тоді як матриця C містить 4 рядки та 2 стовпці. Це означає, що матриця D у нас вийде з 3 рядками і 2 стовпцями. Розрахуємо елементи. Ось 2 приклади обчислень:

• d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Продовжуємо вирішувати завдання. В результаті подальших обчислень ми знаходимо значення d₂₁, d₂₂, d₃₁ і d₃₂. Ці елементи дорівнюють 0, 19, 1 і 11 відповідно. Запишемо знайдені значення в прямокутний масив.

Крок другий. Помножимо a На D, щоб отримати підсумкову матрицю F. У ній буде 2 рядки і 2 стовпці. Розрахуємо елементи:

• f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Складемо прямокутний масив, який є кінцевим результатом множення трьох матриць.

Знайомство з прямим твором

Досить складним для розуміння матеріалом є кронекеровское твір матриць. У нього є ще додаткова назва-прямий твір. Що ж розуміється під цим терміном? Скажімо, у нас є таблиця a порядку m × n і таблиця B порядку p × q. Прямим добутком матриці A на матрицю B є матриця порядку mp × nq.

У нас є 2 квадратні матриці A, B, які представлені на малюнку. Перша з них складається з 2 стовпців і 2 рядків, а друга-з 3 стовпців і 3 рядків. Ми бачимо, що матриця, отримана в результаті прямого добутку, складається з 6 рядків і точно такої ж кількості стовпців.

Як при прямому добутку обчислюють елементи нової матриці? Знайти відповідь на це питання дуже легко, якщо проаналізувати малюнок. Спочатку заповнюють перший рядок. Беруть перший елемент з верхнього рядка таблиці A і послідовно множать на елементи першого рядка з таблиці B. Далі беруть другий елемент першого рядка таблиці A і послідовно множать на елементи першого рядка таблиці B. Для заповнення другого рядка знову беруть перший елемент з першого рядка таблиці A і множать його на елементи другого рядка таблиці B.

Підсумкову матрицю, одержувану прямим твором, називають блокової. Якщо знову проаналізувати малюнок, то можна помітити, що наш результат складається з 4 блоків. Всі вони включають елементи матриці B. Додатково елемент кожного блоку помножений на конкретний елемент матриці A. У першому блоці всі елементи помножені на a₁₁, у другому - на a₁₂, у третьому - на a₂₁, у четвертому - на a₂₂.

Визначник твору

При розгляді теми, що стосується множення матриць, варто ще розглянути такий термін, як " визначник твори матриць». Що таке визначник? Це важлива характеристика квадратної матриці, певне значення, яке ставиться у відповідність цій матриці. Буквене позначення визначника-det.

Для матриці A, що складається з двох стовпців і двох рядків, визначник легко знайти. Існує невелика формула, що представляє собою різницю творів конкретних елементів:

det A = a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Розглянемо приклад обчислення визначника для таблиці другого порядку. Існує матриця A, в якій a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 і a₂₂ = 1. Для обчислення визначника скористаємося формулою:

det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = –13.

У матриць 3 × 3 визначник обчислюється за більш складною формулою. Вона представлена нижче для матриці A:

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃.

Для запам`ятовування формули придумали правило трикутника, яке проілюстровано на зображенні. Спочатку множаться елементи головної діагоналі. До отриманого значення додаються твори тих елементів, на які вказують кути трикутників з червоними сторонами. Далі віднімається твір елементів побічної діагоналі і віднімаються твори тих елементів, на які вказують кути трикутників з синіми сторонами.

Тепер поговоримо про визначник добутку матриць. Існує теорема, яка говорить, що даний показник дорівнює добутку визначників таблиць-співмножників. Переконаємося в цьому на прикладі. У нас є матриця A з елементами a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 І a₂₂ = 1 і матриця B з елементами b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 і b₂₂ = 2. Знайдемо визначники для матриць A і B, твір A × B і визначник цього твору.

Хід рішення.

Крок перший. Обчислимо визначник для A: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = -1. Далі обчислимо визначник для B: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.

Крок другий. Знайдемо твір A × B. Нову матрицю позначимо буквою C. Обчислимо її елементи:

• c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
• c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
• c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
• c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Крок третій. Обчислимо визначник для C: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = -3. Порівняємо зі значенням, яке могло б вийти при множенні визначників вихідних матриць. Числа однакові. Вищевказана теорема вірна.

Ранг твору

Ранг матриці-це характеристика, що відображає максимальну кількість лінійно незалежних рядків або стовпців. Для обчислення рангу виконують елементарні перетворення матриці:

• перестановку місцями двох паралельно лежачих рядів;
• множення всіх елементів певного ряду з таблиці на число, що не дорівнює нулю;
• додаток до елементів одного ряду елементів з іншого ряду, помножених на конкретне число.

Після елементарних перетворень дивляться на кількість ненульових рядків. Їх число-це і є ранг матриці. Розглянемо попередній приклад. У ньому було представлено 2 матриці: A з елементами a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 І a₂₂ = 1 і B з елементами b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 і b₂₂ = 2. Також будемо використовувати матрицю C, отриману в результаті множення. Якщо ми виконаємо елементарні перетворення, то в спрощених матрицях нульових рядків не буде. Це означає, що і ранг таблиці A, і ранг таблиці B, і ранг таблиці C дорівнює 2.

Тепер особливу увагу приділимо рангу твори матриць. Існує теорема, яка говорить, що ранг добутку таблиць, що містять числові елементи, не перевищує рангу будь-якого з співмножників. Це можна довести. Нехай a-матриця розміру k × s, А B-матриця розміру s × m. Добуток A і B дорівнює C.

Вивчимо малюнок, представлений вище. На ньому зображено перший стовпець матриці C та його спрощений запис. Цей стовпець-лінійна комбінація стовпців, що входять в матрицю A. Аналогічним чином можна сказати про будь-якому іншому стовпці з прямокутного масиву C. Таким чином, підпростір, утворений векторами стовпців таблиці C, є в підпросторі, утвореному векторами стовпців таблиці A. З цієї причини розмірність підпростору № 1 не перевищує розмірності підпростору № 2. Звідси випливає висновок, що ранг по стовпцях таблиці C не перевищує рангу по стовпцях таблиці A, т. е. r(C) ≤ r(A). Якщо міркувати аналогічним чином, то можна переконатися в тому, що рядки матриці C - це лінійні комбінації рядків матриці B. З цього випливає нерівність r (C) ≤ r (B).

Як знаходити твір матриць - досить складна тема. Її можна легко освоїти, але для досягнення такого результату доведеться приділити чимало часу заучування всіх існуючих правил і теорем.