Трикутні завдання: як знайти гіпотенузу знаючи кут і катет

Початок всьому поклали греки. Не нинішні, а ті, що жили раніше. Калькуляторів ще не було, а потреби в обчисленнях вже були присутні. І майже будь-яке обчислення призводило в кінцевому підсумку до прямокутним трикутникам. Вони дали рішення багатьох проблем, одна з яких звучала так: "Як знайти гіпотенузу, знаючи кут і катет?".

Трикутники з прямим кутом

Незважаючи на простоту визначення, ця фігура на площині може задати чимало загадок. Багато хто випробував це на собі, хоча б у шкільній програмі. Добре ще, що на всі питання він сам же і дає відповіді.

Але чи не можна ще спростити це нескладне поєднання сторін і кутів? Виявилося, можна. Досить зробити один кут прямим, т. е. рівним 90°.

Здавалося б, яка різниця? Величезний. Якщо у всьому різноманітті кутів розібратися майже неможливо, то, зафіксувавши один з них, легко прийти до дивних висновків. Що і зробив Піфагор.

Він Лі придумав слова "катет" і "гіпотенуза" або це зробив хтось інший-неважливо. Головне, що вони отримали імена не просто так, а завдяки своїм відносинам з прямим кутом. Дві сторони прилягали до нього. Це і були катети. Третя протирічила, вона стала гіпотенузою.

І що з того?

Хоча б те, що з`явилася можливість відповісти на питання, Як знайти гіпотенузу по катету і кутку. Завдяки поняттям, введеним стародавнім греком, стали можливими логічні побудови відносин сторін і кутів.

Самі-то трикутники, прямокутні в тому числі, використовувалися ще при будівництві пірамід. Знаменитий єгипетський трикутник зі сторонами 3, 4 і 5, можливо, підштовхнув Піфагора до формулювання знаменитої теореми. Вона, в свою чергу, стала вирішенням проблеми, як знайти гіпотенузу, знаючи кут і катет

Квадрати сторін виявилися взаємно пов`язаними один з одним. Заслуга стародавнього грека не в тому, що він це помітив, а в тому, що зумів довести свою теорему для всіх інших трикутників, а не тільки єгипетського.

Тепер стало легко обчислити довжину однієї сторони, знаючи дві інші. Але в житті здебільшого виникають завдання іншого роду, коли треба дізнатися гіпотенузу, знаючи катет і кут. Як визначити ширину річки, не замочивши ніг? Легко. Будуємо трикутник, один катет якого і є ширина річки, інший нам відомий з побудови. Знати б ще протилежну сторону... Рішення знайшли вже послідовники Піфагора.

Отже, завдання: як знайти гіпотенузу, знаючи кут і катет

Крім відносин квадратів сторін вони виявили ще безліч інших цікавих відносин. Для їх опису ввели нові визначення: синус, косинус, тангенс, котангенс та іншу тригонометрію. Позначення для формул були такими: Sin, Cos, Tg, Ctg. Що це таке, показано на малюнку.

Значення функцій, якщо відомий кут, давно обчислені і зведені в таблиці знаменитим російським вченим Брадісом. Наприклад, Sin30° = 0,5. І так для кожного кута. Повернемося тепер до річки, на одному березі якої ми провели лінію СА. Її довжина нам відома: 30 метрів. Самі ж проводили. На протилежному боці стоїть дерево в точці В. Виміряти кут а праць не складе, нехай це буде 60°.

У таблиці синусів знаходимо значення для кута 60° - це 0,866. Значить, СААВ = 0,866. Тому АВ визначиться як СА: 0,866 = 34,64. Тепер, коли відомі 2 сторони прямокутного трикутника, обчислити третю праці не складе. Піфагор все зробив за нас, треба тільки підставити цифри:

ВС = √АВ² - AC² = √1199,93 - 900 = √299,93 = 17,32 метра.

Ось так ми вбили двох зайців одним пострілом: з`ясували, як знайти гіпотенузу, знаючи кут і катет, і вирахували ширину річки.