Формула герона, або як знайти за трьома сторонами площа трикутника

Трикутник є найпростішою замкнутої на площині фігурою, що складається всього з трьох між собою з`єднаних відрізків. У задачах з геометрії часто необхідно визначити площу цієї фігури. Що для цього потрібно знати? У статті відповімо на питання, як за трьома сторонами знайти площу трикутника.

Загальна формула

Кожен школяр знає, що площа трикутника обчислюється як добуток довжини будь-якої його сторони - A на половину висоти-h, опущеної на обрану сторону. Нижче наведена відповідна формула: S = a*h/2.

Цим виразом можна скористатися, якщо відомі хоча б дві сторони і значення кута між ними. У цьому випадку висоту h нескладно розрахувати з використанням тригонометричних функцій, наприклад, синуса. Але як Знайти по трьом сторонам трикутника площа, знає далеко не кожен.

Формула Герона

Саме ця формула є відповіддю на питання, як за трьома сторонами знайти площу трикутника. Перш ніж її записати, позначимо довжини відрізків довільної фігури як a, B і c. Формула Герона записується в наступному вигляді: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).

Де p-напівпериметр фігури, тобто: p = (a+b+c)/2.

Незважаючи на гадану громіздкість, наведений вираз для площі S запам`ятати легко. Для цього слід спочатку розрахувати напівпериметр трикутника, потім відняти з нього по одній довжині сторони фігури, перемножити всі отримані різниці і сам напівпериметр. В кінці слід взяти квадратний корінь від твору.

Дана формула носить ім`я Герона Олександрійського, який жив на початку нашої ери. Сучасна історія вважає, що саме цей філософ вперше застосував зазначений вираз для виконання відповідних обчислень. Ця формула опублікована в його праці "Метрика", який датується 60-м роком нашої ери. Відзначимо, що деякі роботи Архімеда, який жив на два століття раніше Герона, містять ознаки того, що грецькому філософу була вже відома формула. Крім того, як знайти площу трикутника, знаючи три сторони, також знали стародавні китайці.

Важливо відзначити, що поставлене завдання можна вирішити, не знаючи про існування формули Герона. Для цього слід провести в трикутнику пару висот і скористатися загальною формулою з попереднього пункту, склавши відповідну систему рівнянь.

Вираз Герона можна використовувати для обчислення площ довільних багатокутників, попередньо розбиваючи їх на трикутники та обчислюючи довжини виникаючих діагоналей.

Приклад рішення задачі

Знаючи, як за трьома сторонами знайти площу трикутника, закріпимо отримані знання за допомогою рішення наступної задачі. Нехай сторони фігури дорівнюють 5 см, 4 см і 3 см. Потрібно знайти площу.

Відомі три сторони трикутника, значить, можна скористатися формулою Герона. Обчислюємо півпериметр і необхідні різниці, маємо:

• p = (A + b + c) / 2 = 6 см;
• p - a = 1 см;
• p-b = 2 см;
• p-c = 3 см.

Тоді отримуємо площу: S = √(p * (p-a)*(p-b)*(p-c)) = √(6*1*2*3) = 6 см².

Наведений в умові задачі трикутник є прямокутним, що неважко перевірити, якщо скористатися теоремою Піфагора. Оскільки площа такого трикутника половині твори катетів дорівнює, то отримуємо: S = 4*3/2 = 6 см².

Отримане значення збігається з аналогічним для формули Герона, що підтверджує справедливість останньої.