Формула блека-скоулза: визначення, способи дослідження і приклад розрахунку

Історія та суть

Грунтуючись на роботах, раніше розроблених дослідниками і практиками ринку, такими як Луї Бачельє, Шин Кассуф і Ед Торп, Фішер Блек і Мирон Шоулз в кінці 1960-х років продемонстрували, що Динамічний перегляд портфеля усуває очікуване повернення безпеки.

У 1970 році, після того, як вони спробували застосувати формулу до ринків і зазнали фінансових втрат через відсутність управління ризиками у своїх професіях, вони вирішили зосередитися у своїй галузі, академічному середовищі. Після трирічних зусиль формула, названа на честь їх оприлюднення, була остаточно опублікована в 1973 році в статті під назвою «ціноутворення опціонів та корпоративних зобов`язань» у журналі політичної економії. Роберт С. Мертон був першим, хто опублікував статтю, що розширює математичне розуміння моделі ціноутворення опціонів, і ввів термін " модель ціноутворення Блек-Скоулз».

За свою роботу Мертон і Скоулз отримали Нобелівську меморіальну премію з економічних наук 1997 року, Комітет, посилаючись на те, що вони відкрили Динамічний перегляд, незалежний від ризику, як прорив, який відокремлює варіант від ризику базової безпеки. Незважаючи на те, що він не отримав нагороду через свою смерть у 1995 році, Шведський академік згадав Блека як учасника. На малюнку нижче ви можете побачити типову формулу розрахунку Блек-Скоулз.

Опціони

Основна ідея цієї моделі полягає в хеджуванні опціону шляхом правильної купівлі та продажу базового активу і, як наслідок, усунення ризику. Цей тип підстраховки називається " постійно оновлюваним дельта-хеджуванням». Він є основою більш складних стратегій, таких як ті, що використовуються інвестиційними банками та хедж-фондами.

Управління ризиками

Припущення моделі були пом`якшені та узагальнені в багатьох напрямках, що призвело до багатьох моделей, які в даний час використовуються в ціноутворенні похідних інструментів та управлінні ризиками. Саме розуміння моделі, як показано у формулі Блека-Скоулза, часто використовується учасниками ринку, на відміну від фактичних цін. Ці відомості включають в себе відсутність арбітражних кордонів і ціноутворення, не залежне від ризику (завдяки постійному перегляду). Крім того, рівняння Блека-Скоулза, рівняння з частинними похідними, яке визначає ціну опціону, дозволяє визначати ціни за допомогою чисельних методів, коли явна формула неможлива.

Волатильність

Формула Блек-Скоулза має лише один параметр, який не можна безпосередньо спостерігати на ринку: середня майбутня волатильність базового активу, хоча її можна знайти за ціною інших опціонів. Оскільки значення параметра (будь то «поклав» або «виклик») збільшується в цьому параметрі, його можна інвертувати, щоб отримати «поверхню волатильності», яка потім використовується для калібрування інших моделей, наприклад, позабіржових деривативів.

З урахуванням цих припущень припустимо, що на цьому ринку також торгуються похідні цінні папери. Ми вказуємо, що цей цінний папір матиме певну виплату на певну дату в майбутньому, залежно від вартості, прийнятої акцією до цієї дати. Дивно, що ціна похідного інструменту повністю визначена в даний час, хоча ми не знаємо, яким шляхом піде ціна акцій у майбутньому.

Для особливого випадку Європейського опціону "колл" або "пут" Блек і Скоулз показали, що можна створити хеджувану позицію, що складається з довгої позиції в акції та короткої позиції в опціоні, вартість якої не буде залежати від ціни акції. Їх динамічна стратегія хеджування призвела до рівняння з частинними похідними, яке визначало ціну опціону. Його рішення дається формулою Блека-Шоулза.

Різниця доданків

Формулу Блека-Скоулза для excel можна інтерпретувати, спочатку розбивши опціон "колл" на різницю двох бінарних опціонів. Опціон "колл" обмінювати грошові кошти на актив після закінчення терміну дії, тоді як кол-актив з активом або без нього просто дає актив (без готівки в обмін), а "колл" з безготівковим розрахунком просто повертає гроші (без обміну активу). Формула Блека-Скоулза для опціону являє собою різницю двох доданків, і ці два доданки дорівнюють значенню опцій двійкового виклику. Ці бінарні опціони продаються набагато рідше, ніж ванільні опціони, але їх легше аналізувати.

На практиці деякі значення чутливості зазвичай наводяться в скороченому виразі, щоб відповідати шкалі ймовірних змін параметрів. Наприклад, часто повідомляється про rho, поділений на 10000 (зміна на 1 базисний пункт), vega на 100 (зміна на 1 об`ємний пункт) і тета на 365 або 252 (1-денний спад на основі або календарних днів, або торгових днів у році).

Описана вище модель може бути розширена для змінних (але детермінованих) ставок і волатильності. Модель також може бути використана для оцінки європейських опціонів на інструменти виплати дивідендів. У цьому випадку доступні рішення в закритій формі, якщо дивіденд є відомою пропорцією ціни акції. Американські опціони та опціони на акції, що виплачують відомий грошовий дивіденд (у короткостроковій перспективі, більш реалістичний, ніж пропорційний дивіденд), важче оцінити, і доступний вибір методів вирішення (наприклад, решітки та сітки).

Наближення

Корисне наближення: хоча волатильність не є постійною, результати моделі часто допомагають встановити хеджування у правильних пропорціях для мінімізації ризику. Навіть якщо результати не зовсім точні, вони служать першим наближенням, до якого можна вносити корективи.

Основа для кращих моделей: модель Black-Scholes є надійною в тому сенсі, що її можна регулювати, щоб впоратися з деякими її відмовами. Замість того, щоб розглядати деякі параметри (наприклад, волатильність або процентні ставки) як постійні, ми розглядаємо їх як змінні і, таким чином, додаємо джерела ризику.

Це відбивається на греків (зміна значення опції для зміни цих параметрів або еквівалентно частковим похідним за цими змінними), і хеджування цих греків зменшує ризик, викликаний непостійною природою цих параметрів. Однак інші дефекти не можуть бути усунені шляхом зміни моделі, зокрема, хвостового ризику і ризику ліквідності, і замість цього вони управляються поза моделлю, головним чином шляхом мінімізації цих ризиків і стрес-тестування.

Явне моделювання

Явне моделювання: ця функція означає, що замість того, щоб припускати волатильність апріорі та обчислювати ціни з неї, модель може бути використана для визначення волатильності, яка дає неявну волатильність опціону за заданими цінами, термінами та цінами виконання. Вирішуючи волатильність протягом певного набору тривалості та цін страйку, можна побудувати поверхню передбачуваної волатильності.

У цьому додатку моделі Блека-Скоулза отримано перетворення координат з області цін в область волатильності. Замість того, щоб вказувати ціни опціонів у доларах за одиницю (які важко порівняти за страйками, тривалістю та частотою купонів), ціни опціонів можуть бути вказані з точки зору неявної волатильності, що призводить до торгівлі волатильністю на ринках опціонів.