Площа поверхні прямої призми: формули і приклад задачі

Об`єм і площа поверхні-це дві важливі характеристики будь-якого тіла, що має кінцеві розміри в тривимірному просторі. У даній статті розглянемо відомий клас багатогранників-призми. Зокрема, буде розкрито питання, Як знайти площу поверхні прямої призми.

Що собою являє призма?

Призмою називається будь-який багатогранник, який обмежений декількома паралелограмами і двома однаковими багатокутниками, розташованими в паралельних площинах. Ці багатокутники вважають підставами фігури, а її паралелограми-це бічні сторони. Кількість сторін (кутів) підстави визначає назву фігури. Наприклад, на малюнку нижче зображена п`ятикутна призма.

Відстань між основами називається висотою фігури. Якщо висота дорівнює довжині будь-якого бічного ребра, то така призма буде прямою. Другим достатнім ознакою для прямої призми є те, що у неї всі бічні сторони являють собою прямокутники або квадрати. Якщо ж хоча б одна бічна сторона є паралелограмом загального вигляду, то фігура буде похилою. Нижче можна подивитися, як візуально відрізняються пряма і похила призми на прикладі чотирикутних фігур.

Площа поверхні прямої призми

Якщо геометрична фігура має n-вугільну основу, то вона складається з N + 2 граней, n з яких є прямокутниками. Позначимо довжини сторін підстави символом a_i, де i = 1,2,...,n, а висоту фігури, яка дорівнює довжині бічного ребра, позначимо h. Щоб визначити площу (S) поверхні всіх граней, необхідно скласти площу S_o кожного з підстав і всі площі бічних сторін (прямокутників). Таким чином, формулу для S в загальному вигляді можна записати так:

S = 2*S_o + S_b

Де S_b - площа бічної поверхні.

Оскільки основою прямої призми може бути абсолютно будь-який плоский багатокутник, то єдиної формули для обчислення S_o привести не можна, і для визначення цієї величини в загальному випадку слід проводити геометричний аналіз. Наприклад, якщо підстава являє собою правильний n-кутник зі стороною a, тоді його площа обчислюється за формулою:

S_o = n/4*ctg(pi/n)*a²

Що стосується величини S_b, те вираз для її обчислення привести можна. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює:

S_b = h*∑_i=1ⁿ(a_i)

Тобто величина S_b обчислюється як добуток висоти фігури на периметр її основи.

Приклад рішення задачі

Застосуємо отримані знання для вирішення наступної геометричної задачі. Дана призма, підстава якої являє собою прямокутний трикутник зі сторонами при прямому куті 5 см і 7 см. Висота фігури становить 10 см. Необхідно знайти площу поверхні прямої призми трикутної.

Для початку обчислимо гіпотенузу трикутника. Вона буде дорівнює:

c = √(5² + 7²) = 8,6 см

Тепер зробимо ще одну підготовчу математичну операцію-розрахуємо периметр підстави. Він складе:

P = 5 + 7 + 8,6 = 20,6 см

Площа бічної поверхні фігури обчислюється як добуток величини P на висоту h = 10 см, тобто S_b = 206 см².

Щоб знайти площу всієї поверхні, до знайденої величиною слід додати дві площі підстави. Оскільки площа прямокутного трикутника визначається половиною твори катетів, то отримуємо:

2*S_o = 2*5*7/2 = 35 см²

Тоді отримуємо, що площа поверхні прямої призми трикутної становить 35 + 206 = 241 см².