Що таке пряма призма? Формули довжин діагоналей, площі поверхні і обсягу фігури

Шкільний курс геометрії поділяється на два великі розділи: планіметрію та стереометрію. Стереометрія вивчає просторові фігури та їх характеристики. У даній статті ми розглянемо, що таке пряма призма, і наведемо формули, що описують такі її властивості, як довжини діагоналей, обсяг і площа поверхні.

Що таке призма?

Коли школярів просять назвати визначення призми, то вони відповідають, що дана фігура являє собою два однакових паралельних багатокутника, сторони яких з`єднані паралелограмами. Це визначення є максимально загальним, оскільки воно не накладає умови на форму багатокутників, на їх взаємне розташування в паралельних площинах. Крім того, воно передбачає наявність з`єднують паралелограмів, до класу яких також відносяться квадрат, ромб і прямокутник. Нижче можна подивитися, що собою являє чотирикутна призма.

Ми бачимо що призма-це багатогранник (поліедр), що складається з n + 2 сторін, 2 × n вершин і 3 × n ребер, де n-кількість сторін (вершин) одного з багатокутників.

Обидва багатокутника прийнято називати підставами фігури, інші грані-це бічні сторони призми.

Поняття про пряму призму

Існують призми різних видів. Так, говорять про правильних і неправильних фігурах, про трикутних, п`ятикутних і інших призмах, бувають опуклі і увігнуті фігури, нарешті, вони бувають похилими і прямими. Про останні поговоримо детальніше.

Пряма призма-це така фігура досліджуваного класу поліедрів, всі бічні чотирикутники якої мають прямі кути. Існує всього два типи таких чотирикутників-це прямокутник і квадрат.

Розглянутий вид фігури має важливу властивість: висота призми прямої дорівнює довжині її бічного ребра. Відзначимо, що всі бічні ребра фігури рівні між собою. Що стосується бічних граней, то в загальному випадку вони один одному не рівні. Їх рівність можливо якщо, крім того що призма є прямою, буде ще правильною.

Нижче малюнок демонструє пряму фігуру з п`ятикутним підставою. Видно, що всі її грані бічні-це прямокутники.

Діагоналі призми і її лінійні параметри

Основними лінійними характеристиками будь-якої призми є її висота h і довжини сторін її основи a_i, де i = 1, ..., n. Якщо підстава є багатокутником правильним, тоді для опису його властивостей досить знати довжину a однієї сторони. Знання зазначених лінійних параметрів дозволяє однозначно визначити такі властивості фігури, як її обсяг або поверхню.

Діагоналі прямої призми являють собою відрізки, які з`єднують будь-які дві несуміжні вершини. Такі діагоналі можуть бути трьох типів:

• лежать в площинах підстави;
• знаходяться в площинах бічних прямокутників;
• належать обсягом фігури.

Довжини тих діагоналей, що відносяться до основи, слід визначати в залежності від типу n-косинця.

Діагоналі бічних прямокутників розраховуються за такою формулою:

d_1i = √(a_i² + h²).

Для визначення об`ємних діагоналей необхідно знати значення довжини відповідної діагоналі підстави і висоти. Якщо деяку діагональ підстави позначити буквою d<sub>0i</sub>, тоді об`ємна діагональ d_2i обчислюється так:

d_2i = √(d_0i² + h²).

Наприклад, у випадку правильної чотирикутної призми довжина об`ємної діагоналі буде дорівнює:

d₂ = √(2 × a² + h²).

Відзначимо, що пряма трикутна призма володіє лише одним з трьох названих типів діагоналей: діагоналлю бічної сторони.

Поверхня досліджуваного класу фігур

Площа поверхні являє собою сукупність площ всіх граней фігури. Щоб наочно собі уявити всі грані, слід зробити розгортку призми. Як приклад така розгортка для п`ятикутної фігури наведена нижче.

Ми бачимо, що кількість плоских фігур дорівнює n + 2, причому n-це прямокутники. Щоб розрахувати площу всієї розгортки, слід скласти площі двох однакових підстав і площі всіх прямокутників. Тоді відповідна формула матиме вигляд:

S = 2 × S_o + h × ∑_i=1ⁿ (a_i).

З цієї рівності видно, що площа бічної поверхні для досліджуваного виду призм дорівнює добутку висоти фігури на периметр її підстави.

Площа основи S_o можна розрахувати, застосовуючи відповідну геометричну формулу. Наприклад, якщо основа прямої призми - прямокутний трикутник, тоді отримуємо:

S_o = a₁ × a₂ / 2.

Де a₁ і a₂ - катети трикутника.

Якщо ж підстава являє собою n-косинець з рівними кутами і сторонами, тоді буде справедливим застосування такої формули:

S_o = n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Формула обсягу

Визначення обсягу призми будь-якого виду не є складним завданням, якщо відомі значення її площі підстави S_o і висоти h. Перемноживши ці значення між собою, ми отримаємо обсяг V фігури, тобто:

V = S_o × h.

Оскільки у прямої призми параметр h дорівнює довжині ребра бічного, то вся проблема обчислення обсягу зводиться до розрахунку площі S_o. Вище ми вже сказали кілька слів і привели пару формул, що дозволяють визначити S_o. Тут лише відзначимо, що в разі підстави довільної форми, слід розбити його на прості сегменти (трикутники, прямокутники), розрахувати площу кожного, а потім скласти всі площі, щоб отримати S_o.