Відстань між паралельними прямими. Відстань між паралельними площинами

Пряма і площина є двома найважливішими геометричними елементами, за допомогою яких можна побудувати різні фігури в двовимірному і тривимірному просторі. Розглянемо, як знаходити відстань між паралельними прямими і паралельними площинами.

Математичне завдання прямий

Зі шкільного курсу геометрії відомо, що в двовимірної прямокутної системі координат пряму можна задати в наступній формі:

y = k*x + b.

Де k і b представляють числа (параметри). Записана форма представлення прямої на площині є площиною, яка паралельна осі z в тривимірному просторі. Зважаючи на це, в даній статті для математичного завдання прямий скористаємося більш зручною і універсальною формою-векторної.

Припустимо, що наша пряма паралельна деякому вектору u (A, b, c) і проходить через точку P (x_0, y₀, z₀). В такому випадку в векторній формі її рівняння буде представлено наступним чином:

(x_, y, z) = (x_0, y₀, z₀) + λ*(a, b, c).

Тут λ-це будь-яке число. Якщо явно уявити координати, розкривши записане вираз, то ми отримаємо параметричну форму запису прямої.

З векторним рівнянням зручно працювати при вирішенні різних завдань, в яких необхідно визначити відстань між прямими паралельними.

Прямі і відстань між ними

Говорити про відстань між прямими має сенс тільки тоді, коли вони є паралельними (в тривимірному випадку також існує ненульова відстань між прямими схрещуються). Якщо прямі перетинаються, то очевидно, що вони знаходяться на нульовій відстані один від одного.

Відстанню між прямими паралельними називається довжина з`єднує їх перпендикуляра. Щоб визначити цей показник, досить вибрати довільну точку на одній з прямих і з неї опустити перпендикуляр на іншу.

Опишемо коротко процедуру знаходження шуканої дистанції. Припустімо, що нам відомі векторні рівняння двох прямих, які представлені в наступному загальному вигляді:

(x_, y, z) = P + λ*u¯;

(x_, y, z) = Q + β*v¯.

Побудуємо паралелограм на цих прямих так, що однією зі сторін буде PQ, а другий, наприклад, u. Очевидно, що висота даної фігури, проведена з точки P, є довжиною шуканого перпендикуляра. Для її знаходження можна застосувати наступну просту формулу:

d = |[PQ¯*u¯]|/|u¯|.

Оскільки відстанню між прямими паралельними називається довжина перпендикулярного відрізка між ними, то відповідно до записаного виразу досить знайти модуль векторного твори PQ і u і розділити отриманий результат на довжину вектора u.

Приклад завдання на визначення між прямими відстані

Задано дві прямі наступними векторними рівняннями:

(x_, y, z) = (2, 3, -1) + λ*(-2, 1, 3);

(x_, y, z) = (1, 1, 1) + β*(2, -1, -3).

Із записаних виразів видно, що ми маємо дві паралельні прямі. Дійсно, якщо помножити на -1 координати направляючого вектора першої прямої, то вийдуть координати направляючого вектора другої прямої, що говорить про їх паралельності.

Відстань між прямими паралельними обчислимо, використовуючи записану в попередньому пункті статті формулу. Маючи:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1) => PQ¯ = (-1, -2, 2);

u¯ = (-2, 1, 3).

Тоді отримуємо:

/ u / = √14 см;

d |/[PQ * u] / / / u / = √(90/14) = 2,535 см.

Відзначимо, що замість точок P і Q для вирішення завдання можна було використовувати абсолютно будь-які точки, які належать даним прямим. При цьому ми отримали б ту ж саму відстань d.

Завдання площини в геометрії

Вище було розглянуто детально питання про відстань між прямими. Тепер покажемо, як знаходити відстань між паралельними площинами.

Кожен уявляє, що таке площина. Згідно з математичним визначенням, зазначений геометричний елемент являє собою сукупність точок. Причому якщо скласти всілякі вектора за допомогою цих точок, то всі вони будуть перпендикулярні одному єдиному вектору. Останній прийнято називати нормаллю до площини.

Для завдання рівняння площини в тривимірному просторі найчастіше користуються загальною формою рівняння. Вона має такий вигляд:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Де великі латинські літери-це деякі числа. Зручно користуватися цим видом рівняння площини тому, що в ньому явно задані координати нормального вектора. Вони рівні A, B, C.

Неважко зрозуміти, що дві площини є паралельними лише тоді, коли їх нормалі паралельні.

Як знайти відстань між двома паралельними площинами ?

Щоб визначити вказану відстань, слід чітко уявляти, про що йде мова. Під відстанню між площинами, які один одному паралельні, розуміють довжину перпендикулярного їм відрізка. Кінці цього відрізка належать площинах.

Алгоритм вирішення подібних завдань простий. Для цього Знайти необхідно координати абсолютно будь-якої точки, яка належить одній з двох площин. Потім, слід скористатися такою формулою:

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²).

Оскільки відстань-це величина позитивна, то в чисельнику стоїть знак модуля. Записана формула є універсальною, оскільки вона дозволяє розрахувати дистанцію від площини до абсолютно будь-якого геометричного елемента. Достатньо лише знати координати однієї точки цього елемента.

Для повноти інформації відзначимо, що якщо нормалі двох площин один одному не паралельні, то такі площини будуть перетинатися. Дистанція між ними тоді буде дорівнює нулю.

Завдання на визначення дистанції між площинами

Відомо, що дві площини задані наступними виразами:

y/5 + x/(-3) + z/1 = 1;

-x + 3/5*y + 3*z – 2 = 0.

Необхідно довести, що площини є паралельними, а також визначити дистанцію між ними.

Щоб відповісти на першу частину задачі, необхідно перше рівняння привести до загальної форми. Відзначимо, що воно дано в так званому вигляді рівняння в відрізках. Помножимо його ліву і праву частини на 15 і перенесемо всі члени в одну сторону рівності, отримаємо:

-5*x + 3*y + 15*z – 15 = 0.

Випишемо координати двох нормальних векторів площин:

n₁¯ = (-5, 3, 15);

n₂¯ = (-1, 3/5, 3).

Видно, що якщо n₂ помножити на 5, то ми точно отримаємо координати n₁¯. Таким чином, розглянуті площини є паралельними.

Щоб обчислити відстань між паралельними площинами, виберемо довільну точку першої з них і скористаємося наведеної раніше формулою. Наприклад, візьмемо точку (0, 0, 1), яка належить першій площині. Тоді отримуємо:

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²) =

= 1/(√(1 + 9/25 + 9 )) = 0,31 см.

Шукана відстань становить 31 мм.

Дистанція між площиною і прямою

Надані теоретичні знання дозволяють також вирішити задачу на визначення відстані між прямою і площиною. Вище вже згадувалося, що формула, справедлива для розрахунків між площинами, є універсальною. Нею також можна скористатися для вирішення поставленого завдання. Для цього достатньо вибрати будь-яку точку, яка належить заданій прямій.

Головною проблемою при визначенні відстані між розглянутими геометричними елементами є доказ їх паралельності (якщо це не так, то d=0). Паралельність легко довести, якщо обчислити скалярний добуток нормалі і направляючого вектора для прямої. Якщо розглянуті елементи паралельні, то цей добуток дорівнюватиме нулю.