Геометрична фігура призма. Властивості, види, формули обсягу і площі. Правильна трикутна призма

Геометричні фігури в просторі є об`єктом вивчення стереометрії, курс якої проходять школярі в старших класах. Дана стаття присвячена такому досконалому багатограннику, як призма. Розглянемо докладніше властивості призми і наведемо формули, які служать для їх кількісного опису.

Що це-призма?

Кожен представляє, як виглядає паралелепіпед або куб. Обидві фігури є призмами. Однак, клас призм набагато більш різноманітний. В геометрії цій фігурі дається наступне визначення: призмою є всякий багатогранник в просторі, який утворений двома паралельними і однаковими багатокутними сторонами і декількома паралелограмами. Однакові паралельні грані фігури називаються її підставами (верхнім і нижнім). Паралелограми ж - це бічні грані фігури, що з`єднують сторони підстави один з одним.

Якщо підстава представлено n-косинцем, де n - ціле число, тоді фігура буде складатися з 2 + n граней, 2 * n вершин і 3 * n ребер. Грані і ребра відносяться до одного з двох типів: або вони належать бічній поверхні, або підстав. Що стосується вершин, то всі вони є рівноправними і відносяться до підстав призми.

Види фігур досліджуваного класу

Вивчаючи властивості призми, слід перерахувати можливі види цієї фігури:

• Опуклі і увігнуті. Різниця між ними полягає у формі багатокутної основи. Якщо воно є увігнутим, то такий також буде об`ємна фігура, і навпаки.
• Прямі і похилі. У прямої призми бічні грані представлені або прямокутниками, або квадратами. У похилій фігури бічні грані є паралелограмами загального типу або ромбами.
• Неправильні і правильні. Щоб вивчена фігура була правильною, вона повинна бути прямою і мати правильну основу. Прикладом останнього є такі плоскі фігури, як рівносторонній трикутник або квадрат.

Назва призми утворюється з урахуванням перерахованої класифікації. Наприклад, згаданий вище паралелепіпед з прямими кутами або куб, називаються правильної чотирикутної призма. Правильні призми, зважаючи на їх високу симетрію, зручно вивчати. Їх властивості виражаються у вигляді конкретних математичних формул.

Площа призми

Коли розглядають таку властивість призми, як її площа, то мають на увазі сумарну площу всіх її граней. Уявити цю величину найпростіше, якщо зробити розгортку фігури, тобто розкласти всі грані на одну площину. Нижче на малюнку показані для прикладу розгортки двох призм.

Для довільної призми формула площі її розгортки в загальному вигляді може бути записана так:

S = 2*S_o + b*P_sr.

Пояснимо позначення. Величина S_o - це площа однієї основи, B-довжина бічного ребра, P_sr - периметр зрізу, який перпендикулярний бічних паралелограм фігури.

Записаної формулою часто користуються для визначення площ похилих призм. У разі правильної призми вираз для S набуде конкретного вигляду:

S = n/2*a²*ctg(pi/n) + n*b*a .

Перший доданок у виразі представляє площу двох основ правильної призми, другий доданок-це площа бічних прямокутників. Тут a-довжина сторони правильного n-кутника. Відзначимо, що довжина бічного ребра b для правильної призми є також її висотою h, тому у формулі b можна замінити на h.

Як обчислити обсяг фігури?

Призма являє собою порівняльної простий поліедр з високою симетрією. Тому для визначення її обсягу існує досить проста формула. Вона має наступний вигляд:

V = S_o*h.

Обчислити площу основи і висоту може бути складно, якщо розглядається Похила неправильна фігура. Вирішується таке завдання за допомогою послідовного геометричного аналізу із залученням інформації про двогранних кутах між бічними паралелограмами і підставою.

Якщо призма є правильною, тоді формула для V набуває цілком конкретний вигляд:

V = n/4*a²*ctg(pi/n)*h.

Як видно, площа S і обсяг V для правильної призми визначаються однозначно, якщо відомі два її лінійних параметра.

Призма трикутна правильна

Завершимо статтю, розглянувши властивості трикутної призми правильної. Утворена вона п`ятьма гранями, три з яких є прямокутниками (квадратами), і дві-трикутниками рівносторонніми. Призма має шість вершин і дев`ять ребер. Для цієї призми формули об`єму та площі поверхні записані нижче:

S₃ = √3/2*a² + 3*h*a

V₃ = √3/4*a²*h.

Крім цих властивостей, також корисно навести формулу для апофеми підстави фігури, яка представляє собою висоту h_a рівносторонній трикутник:

h_a = √3/2*a.

Бічні сторони призми-це однакові прямокутники. Довжини їх діагоналей d рівні:

d = √(a² + h²).

Знання геометричних властивостей призми трикутної представляє не тільки теоретичний, а й практичний інтерес. Справа в тому, що цю фігуру, виготовлену з оптичного скла, застосовують для вивчення спектру випромінювання тіл.

Проходячи через скляну призму, світло розкладається на ряд складових кольорів в результаті явища дисперсії, що створює умови для вивчення спектрального складу електромагнітного потоку.