Що це-пряма призма? Властивості та формули. Приклад завдання

Вивченням характеристик тривимірних геометричних фігур займається стереометрія. Однією з відомих об`ємних фігур, яка з`являється в задачах геометрії , є пряма призма. Розглянемо в даній статті, що вона собою являє, а також детально охарактеризуємо призму з трикутним підставою.

Призма і її види

Під призмою мають на увазі таку фігуру, яка утворюється в результаті паралельного перенесення багатокутника в просторі. В результаті цієї геометричної операції утворюється фігура, що складається з декількох паралелограмів і двох однакових паралельних один одному багатокутників. Паралелограми є бічними сторонами призми, а багатокутники - це її основи.

Будь-яка призма має n + 2 сторони, 3 * n ребер і 2 * n вершин, де n-число кутів або сторін багатокутної основи. На зображенні показана п`ятикутна призма, яка складається з 7 сторін, 10 вершин і 15 ребер.

Розглянутий клас фігур представлений призмами декількох видів. Перерахуємо їх коротко:

• увігнуті і опуклі;
• похилі і прямі;
• неправильні і правильні.

Кожна фігура відноситься до одного з перерахованих трьох видів класифікації. Під час вирішення геометричних задач найпростіше виконувати розрахунки для правильних і прямих призм. Останні детальніше розглянемо в наступних пунктах статті.

Що це-призма пряма?

Прямий називається увігнута або опукла, правильна чи неправильна призма, у якій всі бічні сторони представлені чотирикутниками з кутами 90°. Якщо хоча б один з чотирикутників бічних сторін не буде прямокутником або квадратом, то призма називається похилою. Можна також дати інше визначення: пряма призма-це така фігура даного класу, у якій будь-яке бічне ребро дорівнює висоті. Під висотою h призми вважають дистанцію між її підставами.

Обидва наведених визначення того, що це-пряма призма, є рівноправними і самодостатніми. З них випливає, що всі двогранні кути між будь-яким з підстав і кожної бічною стороною рівні 90°.

Вище було сказано, що з прямими фігурами зручно працювати при вирішенні завдань. Це пов`язано з тим, що висота збігається з довжиною бічного ребра. Останній факт полегшує процес обчислення обсягу фігури і площі її бічній поверхні.

Обсяг прямої призми

Обсяг-властива будь-якої просторової фігури величина, яка чисельно відображає частину простору, укладеного між поверхнями розглянутого об`єкта. Обсяг призми може бути розрахований за наступною загальною формулою:

V = S_o*h.

Тобто твір висоти на площу підстави дасть шукане значення V. Оскільки у прямої призми підстави рівні, то для визначення площі S_o можна брати будь-яке з них.

Перевага використання наведеної вище формули саме для прямої призми в порівнянні з іншими її видами полягає в тому, що висоту фігури знайти дуже просто, так як вона збігається з довжиною бічного ребра.

Площа бічної поверхні

Зручно розраховувати не тільки обсяг для прямої фігури розглянутого класу, але також її бічну поверхню. Дійсно, будь-яка її бічна сторона - це або прямокутник, або квадрат. Як обчислити площу цих плоских фігур, знає кожен школяр, для цього необхідно помножити суміжні сторони один на одного.

Припустимо, що в основі призми лежить довільний n-кутник, сторони якого рівні a_i. Індекс i пробігає значення від 1 до n. Площа одного прямокутника обчислюється так:

S_i = a_i*h.

Площа поверхні бічній S_b неважко обчислити, якщо скласти всі площі S_i прямокутник. В такому випадку отримуємо кінцеву формулу для S_b прямий призми:

S_b = h*∑_i=1ⁿ(a_i) = h*P_o.

Таким чином, щоб визначити площу бічної поверхні для прямої призми, необхідно помножити її висоту на периметр однієї основи.

Завдання з трикутною призмою

Припустимо, що задана пряма призма. Підстава - прямокутний трикутник. Катети цього трикутника дорівнюють 12 см і 8 см. Необхідно розрахувати обсяг фігури і її повну площу, якщо висота призми становить 15 см.

Для початку обчислимо обсяг прямої призми. Трикутник (прямокутний), що знаходиться в її підставах, має площу:

S_o = a₁*a₂/ 2 = 12 * 8/2 = 48 см².

Як можна здогадатися, a₁ і a₂ у цій рівності є катетами. Знаючи площу основи і висоту (см. умова задачі) , можна скористатися формулою для V:

V = S_o* h = 48 * 15 = 720 см³.

Повна площа фігури утворена двома частинами: площами підстав і бічною поверхнею. Площі двох підстав рівні:

S_2o = 2*S_o = 48 * 2 = 96 см².

Для обчислення площі бічної поверхні необхідно знати периметр прямокутного трикутника. Обчислимо по теоремі Піфагора його гіпотенузу a₃, маючи:

a₃ = √(a₁² + a₂²) = √(12² + 8²) = 14,42 см.

Тоді периметр трикутника підстави прямої призми складе:

P = a₁ + a₂ + a₃ = 12 + 8 + 14,42 = 34,42 см.

Застосовуючи формулу для S_b, яка була записана в попередньому пункті, отримуємо:

S_b = h*P = 15*34,42 = 516,3 см.

Склавши площі S_2o і S_b, ми отримаємо повну площу поверхні досліджуваної геометричної фігури:

S = S_2o + S_b = 96 + 516,3 = 612,3 см².

Трикутна призма, яку виготовляють зі спеціальних видів скла, застосовується в оптиці при вивченні спектрів випромінюючих світло об`єктів. Такі призми здатні розкладати світло на складові частоти завдяки явищу дисперсії.