Що таке тангенціальне прискорення? Формули, приклад задачі

Рух-це одне з важливих властивостей речовини в нашому Всесвіті. Дійсно, навіть при абсолютному нулі температур переміщення частинок матерії не припиняється повністю. У фізиці рух описується рядом параметрів, основним з яких є прискорення. У даній статті ми розкриємо докладніше питання щодо того, що являє собою прискорення тангенціальне і як його розраховувати.

Прискорення у фізиці

Під прискоренням розуміють швидкість, з якою змінюється швидкість тіла під час його переміщення. Математично це визначення записують так:

a¯ = d v¯/ d t

Це кінематичне визначення прискорення. З формули видно, що обчислюється воно в метрах в квадратну секунду (м / з²). Прискорення-це векторна характеристика. Напрямок його нічого спільного з напрямком швидкості не має. Направлено прискорення в бік зміни швидкості. Очевидно, що в разі рівномірного руху по прямій лінії не існує ніякої зміни швидкості, тому прискорення дорівнює нулю.

Якщо говорити про прискорення як про величину динаміки, то слід згадати закон Ньютона:

F¯ = m × a¯ =>

a¯ = F¯ / m

Причиною виникнення величини a¯ є діюча на тіло сила F¯. Оскільки маса m-це величина скалярна, то прискорення направлено в бік дії сили.

Траєкторія руху і повне прискорення

Говорячи про прискорення, швидкості і пройденому шляху, слід не забувати ще про одну важливу характеристику будь-якого руху-траєкторії. Під нею розуміють уявну лінію, по якій рухається досліджуване тіло. У загальному випадку вона може бути кривою або прямою. Найпоширенішою кривою траєкторією є коло.

Припустимо, що тіло рухається по кривій траєкторії. При цьому його швидкість змінюється за деяким законом v = v (t). У будь-якій точці траєкторії швидкість спрямована по дотичній до неї. Виразити швидкість можна як добуток її модуля v на елементарний вектор u¯. Тоді для прискорення отримаємо:

v¯ = v × u¯;

a¯ = d v¯/ d t = d (v × u¯) / d t

Застосовуючи правило обчислення похідної від твору функцій, отримуємо:

a¯ = d (v × u¯) / d t = d v / d t × u¯ + v × d u¯ / d t

Таким чином, повне прискорення a¯ при русі по кривій траєкторії розкладається на дві складові. У даній статті ми розглянемо докладно лише перший доданок, яке називається тангенціальним прискоренням точки. Що стосується другого доданка, то лише скажемо, що воно називається нормальним прискоренням і направлено до центру кривизни.

Тангенціальне прискорення

Позначимо цю компоненту повного прискорення символом a_t¯. Запишемо ще раз формулу тангенціального прискорення:

a_t¯ = d v / d t × u¯

В чим говорить це рівність? По-перше, компонента a_t¯ характеризує зміну абсолютного значення швидкості, не беручи до уваги її напрямок. Так, в процесі руху вектор швидкості може бути постійним (прямолінійним) або ж постійно змінюватися (криволінійним), але якщо при цьому модуль швидкості залишається незмінним, то a_t¯ дорівнюватиме нулю.

По-друге, тангенціальне прискорення спрямоване точно так само, як вектор швидкості. Цей факт підтверджується наявністю в записаної вище формулою множника у вигляді елементарного вектора u¯. Так як u¯ спрямований по дотичній до траєкторії, то компоненту a_t¯ часто називають дотичним прискоренням.

Виходячи з визначення дотичного прискорення, можна зробити висновок: величини a¯ і a_t¯ збігаються завжди в разі прямолінійного переміщення тіл.

Дотичне і кутове прискорення при русі по колу

Вище ми з`ясували, що рух по будь-якій криволінійній траєкторії призводить до появи двох компонент прискорення. Одним з видів руху по кривій лінії є обертання тіл і матеріальних точок по колу. Такий тип переміщення зручно описувати кутовими характеристиками, такими як кутове прискорення, кутова швидкість і кут повороту.

Під кутовим прискоренням α розуміють величину зміни швидкості кутовий ω:

α = d ω / d t

Кутове прискорення призводить до збільшення частоти обертання. Очевидно, що при цьому зростає лінійна швидкість кожної точки, яка бере участь в обертанні. Тому має існувати вираз, який пов`язує кутове та тангенціальне прискорення. Не будемо вдаватися в подробиці виведення цього виразу, а наведемо його відразу:

a_t = α × r

Величини a_t і α прямо пропорційні один одному. Крім того, a_t збільшується зі зростанням дистанції r від осі обертання до розглянутої точки. Саме тому при обертанні зручно використовувати α, а не a_t (α від радіуса обертання r не залежить).

Приклад завдання

Відомо, що матеріальна точка обертається навколо осі радіусом 0,5 метра. Її кутова швидкість при цьому змінюється за наступним законом:

ω = 4 × t + t² + 3

Необхідно визначити, з яким тангенціальним прискоренням точка буде обертатися в момент часу 3,5 секунди.

Для вирішення даного завдання слід скористатися спочатку формулою для кутового прискорення. Маючи:

α = d ω / d t = 2 × t + 4

Тепер слід застосувати рівність, яке пов`язує величини a_t і α, отримуємо:

a_t = α × r = t + 2

При записі останнього виразу ми підставили значення r = 0,5 м з умови. У підсумку ми отримали формулу, згідно з якою тангенціальне прискорення залежить від часу. Такий рух по колу не є рівноприскореним. Для отримання відповіді на завдання залишилося підставити відомий момент часу. Отримуємо відповідь: a_t = 5,5 м/с².