Поняття про кутове прискорення. Формули кінематики і динаміки обертання. Приклад завдання

Обертання тіл є одним з важливих типів механічного руху в техніці і природі. На відміну від лінійного переміщення, воно описується власним набором кінематичних характеристик. Однією з них є кутове прискорення. Охарактеризуємо цю величину в статті.

Рух обертання

Перш чим говорити про кутовому прискоренні, опишемо тип руху, до якого воно застосовується. Йдеться про обертання, яке являє собою переміщення тіл по кругових траєкторіях. Щоб обертання відбувалося, необхідно виконання деяких умов:

• наявність осі або точки обертання;
• наявність доцентрової сили, яка б утримувала на круговій орбіті тіло.

Прикладами цього типу руху є різні атракціони, такі як карусель. У техніці обертання проявляє себе при русі коліс і валів. У природі найяскравішим прикладом цього типу руху є обертання планет навколо власної осі і навколо Сонця. Роль доцентрової сили в названих прикладах грають сили міжатомної взаємодії в твердих тілах і гравітаційна взаємодія.

Кінематичні характеристики обертання

До цих характеристик відносяться три величини: кутове прискорення, кутова швидкість і кут повороту. Будемо позначати їх грецькими символами α, ω і θ відповідно.

Так як тіло рухається по колу, то зручно розраховувати кут θ, на який воно повернеться за певний час. Цей кут виражається в радіанах (рідше в градусах). Оскільки коло має 2 × pi радіан, то можна записати рівність, що зв`язує θ з довжиною дуги l повороту:

L = θ × r

Де r-радіус обертання. Цю формулу нескладно отримати, якщо згадати відповідний вираз для довжини кола.

Кутова швидкість ω, як і її лінійний аналог, описує швидкість повороту навколо осі, тобто вона визначається відповідно до наступного виразу:

ω¯ = d θ / d t

Величина ω є векторною. Спрямована вона уздовж осі обертання. Одиницею її вимірювання є радіан в секунду (рад/з).

Нарешті, кутове прискорення-це фізична характеристика, яка визначає швидкість зміни величини ω, що математично записується так:

α¯ = d ω¯/ d t

Вектор α спрямований у бік зміни вектора швидкості ω. Далі буде сказано, що кутове прискорення направлено в бік вектора моменту сили. Вимірюють цю величину в радіанах в квадратну секунду (рад / з²).

Момент сили і прискорення

Якщо згадати закон Ньютона, який пов`язує в єдине рівність силу і лінійне прискорення, то, перенісши цей закон на випадок обертання, можна записати наступний вираз:

M¯ = I × α¯

Тут M-момент сили, що представляє собою твір сили, яка прагне розкрутити систему, на важіль-відстань від точки прикладання сили до осі. Величина I є аналогом маси тіла і називається моментом інерції. Записана формула називається рівнянням моментів. З нього кутове прискорення можна обчислити так:

α¯ = M¯/ I

Оскільки I-це скаляр, то α завжди направлено в бік діючого моменту сили M. Напрямок M визначається за правилом правої руки або правилом свердлика. Вектора M і α перпендикулярні площині обертання. Чим більший момент інерції має тіло, тим менше значення кутового прискорення здатний повідомити системі фіксований момент M.

Кінематичні рівняння

Щоб зрозуміти, яку важливу роль відіграє кутове прискорення для опису руху обертання, запишемо формули, що зв`язують вивчені вище кінематичні величини.

У разі рівноприскореного обертання справедливі наступні математичні співвідношення:

ω = α × t;

θ = α × t² / 2

Перша формула показує, що кутова швидкість буде зростати з часом за лінійним законом. Другий вираз дозволяє розрахувати кут, на який повернеться тіло за відомий час t. Графіком функції θ (t) є парабола. В обох випадках кутове прискорення є постійною величиною.

Якщо скористатися наведеною на початку статті формулою зв`язку між L і θ, то можна отримати вираз для α через лінійне прискорення a:

α = a / r

Якщо α є постійним, то при зростанні відстані від осі обертання r буде пропорційним чином збільшуватися лінійне прискорення a. Саме тому для обертання користуються кутовими характеристиками, на відміну від лінійних, вони не змінюються зі збільшенням або зменшенням r.

Приклад завдання

Металевий вал, обертаючись з частотою 2 000 оборотів в секунду, почав сповільнювати свій рух і через 1 хвилину повністю зупинився. Необхідно розрахувати, з яким кутовим прискоренням відбувався процес гальмування вала. Також слід обчислити кількість обертів, які вал зробив до того, як зупинитися.

Процес уповільнення обертання описується таким виразом:

ω = ω₀ - α × t

Початкова кутова швидкість ω₀ визначається через частоту обертання f таким чином:

ω₀ = 2 × pi × f

Оскільки час гальмування нам відомо, тоді отримуємо значення прискорення α:

α = ω₀ / t = 2 × pi × f / t = 209,33 рад / з²

Це число слід взяти зі знаком мінус, оскільки мова йде про гальмування системи, а не про її прискорення.

Для визначення числа обертів, які вал зробить під час гальмування, застосуємо вираз:

θ = ω₀ × t - α × t² / 2 = 376 806 рад.

Отримане значення кута повороту θ в радіанах просто перекладається в число зроблених обертів валом до його повної зупинки за допомогою простого ділення на 2 × pi:

n = θ /(2 × pi) = 60 001 оборот.

Таким чином, ми отримали всі відповіді на питання задачі: α = -209,33 рад / з², n = 60 001 оборот.