Рівняння площини. Кут між двома площинами

Площина, поряд з точкою і прямою лінією, є базовим геометричним елементом. З його використанням будуються багато фігур в просторової геометрії. У даній статті розглянемо докладніше питання про те, як між двома площинами кут знайти.

Поняття

Перш чим говорити про вугіллі між двома площинами, слід добре розібратися, про який елемент в геометрії піде мова. Розберемося в термінології. Площина являє собою нескінченну сукупність точок в просторі, поєднуючи між собою які, ми отримаємо вектора. Останні будуть по відношенню до деякого одному вектору перпендикулярні. Його прийнято називати нормаллю до площини.

На малюнку вище показана площина і два нормальних вектора до неї. Видно, що лежать на одній прямій обидва вектора. Кут між ними становить 180^o.

Рівняння

Між двома площинами кут можна визначити, якщо відомо математичне рівняння розглянутого геометричного елемента. Існує кілька видів подібних рівнянь, назви яких перераховані нижче:

• загального типу;
• векторний;
• у відрізках.

Ці три види є найбільш зручними при вирішенні різного роду завдань, тому вони найчастіше використовуються.

Рівняння загального типу виглядає наступним чином:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Тут x, y, z-координати довільної точки, що належить даній площині. Параметри A, B, C і D представляють числа. Зручність цієї форми запису полягає в тому, що числа A, B, C є координатами нормального до площини вектора.

Векторна форма запису площини може бути представлена наступним чином:

x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + α*(a₁, b₁, c₁) + β*(a₂, b₂, c₂).

Тут (a₂, b₂, c₂) і (a₁, b₁, c₁)- параметри двох векторів координати, які належать розглянутій площині. Точка (x₀, y₀, z₀) також лежить у цій площині. Параметри α і β можуть приймати незалежні один від одного і довільні значення.

Нарешті, рівняння площини в відрізках представляють в наступному математичному вигляді:

x/p + y/q + z/l = 1.

Тут p, q, l-конкретні числа (в тому числі негативні). Цей вид рівняння зручний, коли необхідно зобразити в прямокутній системі координат площину, оскільки числа p, q, l показують точки перетину з осями X, y і z площини.

Зауважимо, що кожен вид рівняння може бути перетворений в будь-який інший за допомогою нескладних математичних операцій.

Формула кута між двома площинами

Тепер розглянемо наступний нюанс. У тривимірному просторі дві площини можуть розташовуватися всього двома способами. Або перетинатися, або бути паралельними. Між двома площинами кутом називається те, що розташоване між їх векторами напрямними (нормальними). Перетинаючись, 2 вектора утворюють 2 кута (гострий і тупий в загальному випадку). Як кута між площинами прийнято вважати гострий. Розглянемо рівняння.

Формула кута між двома площинами має вигляд:

θ = arccos(|(n₁¯*n₂¯)|/(|n₁¯|*|n₂¯|)).

Нескладно здогадатися, що цей вираз є прямим наслідком з скалярного добутку нормальних векторів n₁ і n₂ для розглянутих площин. Модуль скалярного добутку в чисельнику вказує на те, що кут θ буде приймати лише значення від 0^o до 90^o. Добуток модулів нормальних векторів у знаменнику означає добуток їх довжин.

Відзначимо, якщо (n₁¯*n₂) = 0, то площини перетинаються під прямим кутом.

Приклад завдання

Розібравшись, що називається кутом між двома площинами, вирішимо наступну задачу. В якості прикладу. Отже, необхідно обчислити кут між такими площинами:

2*x - 3*y + 4 = 0;

(x, y, z) = (2, 0, -1) + α*(1, 1, -1) + β*(0, 2, 3).

Для вирішення завдання необхідно знати напрямні вектора площин. Для першої площини нормальний вектор дорівнює: n₁¯ = (2, -3, 0). Щоб знайти другий площині нормальний вектор, слід помножити вектора, що стоять після параметрів α і β. В результаті отримаємо вектор: n₂¯ = (5, -3, 2).

Для визначення кута θ скористаємося формулою з попереднього пункту. Отримувати:

θ = arccos (|((2, -3, 0)*(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)|*|(5, -3, 2)|)) =

= arccos (19/√(13*38)) = 0,5455 рад.

Розрахований кут в радіанах відповідає 31,26^o. Таким чином, площини з умови задачі перетинаються під кутом 31,26^o.