Рівняння стану ідеального газу (рівняння менделєєва-клапейрона). Виведення рівняння ідеального газу

Газ є одним з чотирьох агрегатних станів навколишнього нас матерії. Цей стан речовини людство почало вивчати із застосуванням наукового підходу, починаючи з XVII століття. У наведеній нижче статті вивчимо, що таке ідеальний газ, і рівняння яке описує його поведінка при різних зовнішніх умовах.

Поняття про ГАЗ ідеальному

Кожна людина знає, що Повітря, яким ми дихаємо, або природний метан, який ми використовуємо для обігріву будинків і приготування їжі, це яскраві представники газового стану матерії. У фізиці для вивчення властивостей цього стану було введено поняття ідеального газу. Це поняття передбачає використання ряду припущень і спрощень, які не є суттєвими при описі базових фізичних характеристик речовини: температури, об`єму і тиску.

Отже, ідеальним газом називається Текуча субстанція, яка задовольняє наступні умови:

1. Частинки (молекули та атоми) рухаються хаотично в різних напрямках. Завдяки цій властивості в 1648 році Ян Баптиста ван Гельмонт ввів поняття "газ" ("хаос" з давньогрецької).
2. Частинки не взаємодіють один з одним, тобто міжмолекулярними і міжатомними взаємодіями можна знехтувати.
3. Зіткнення між частинками і зі стінками судини є абсолютно пружними. В результаті таких зіткнень зберігається кінетична енергія і кількість руху (імпульс).
4. Кожна частинка являє собою матеріальну точку, тобто вона має деяку кінцеву масу, але її об`єм дорівнює нулю.

Сукупність викладених умов відповідає поняттю ідеального газу. Всі відомі реальні речовини з високою точністю відповідають введеної концепції при високих температурах (кімнатної і вище) і низьких тисках (атмосферного і нижче).

Закон Бойля-Маріотта

Перш ніж записати рівняння стану ідеального газу, наведемо ряд приватних законів і принципів, експериментальне відкриття яких призвело до висновку цього рівняння.

Почнемо з закону Бойля-Маріотта. У 1662 році британський фізико-хімік Роберт Бойль і в 1676 французький фізико-ботанік ЕДМ Маріотт незалежно встановили наступний закон: якщо температура в газовій системі залишається постійною, то створюване газом тиск в ході будь-якого термодинамічного процесу виявляється обернено пропорційним його обсягом. Математично це формулювання може бути записана наступним чином:

P * V = k₁ при T = const, де

• P, V-тиск і обсяг ідеального газу;
• k₁ - деяка константа.

Проводячи експерименти з хімічно різними газами, вчені встановили, що величина k₁ не залежить від хімічної природи, але залежить від маси газу.

Перехід між станами зі зміною тиску і обсягу при збереженні температури системи називається ізотермічним процесом. Таким чином, ізотерми ідеального газу на графіку являють собою гіперболи залежності тиску від обсягу.

Закон Шарля і Гей-Люссака

У 1787 році французький вчений Шарль і в 1803 році інший француз Гей-Люссак емпіричним шляхом встановили ще один закон, який описував поведінку ідеального газу. Його можна сформулювати так: в закритій системі при постійному тиску газу збільшення температури призводить до пропорційного збільшення обсягу і, навпаки, зменшення температури веде до пропорційного стиснення газу. Математичне формулювання закону Шарля і Гей-Люссака записується так:

V / T = k₂ при P = const.

Перехід між станами газу зі зміною температури і об`єму і при збереженні тиску в системі називається ізобарним процесом. Константа k₂ визначається значенням тиску в системі і масою газу, але не його хімічною природою.

На графіку функція V (T) являє собою пряму лінію з дотичним кутом нахилу k₂.

Зрозуміти цей закон можна, якщо залучити положення молекулярно-кінетичної теорії (МКТ). Так, збільшення температури призводить до збільшення кінетичної енергії газових частинок. Останнє сприяє підвищенню інтенсивності зіткнень їх зі стінками судини, що збільшує тиск в системі. Щоб цей тиск зберегти постійним, необхідно об`ємне розширення системи.

Закон Гей-Люссака

Вже згаданий французький вчений на початку XIX століття встановив ще один закон, пов`язаний з термодинамічними процесами ідеального газу. Цей закон говорить: якщо в газовій системі зберігається постійний обсяг, то збільшення температури позначається на пропорційному підвищенні тиску, і навпаки. Формула закону Гей-Люссака виглядає так:

P / T = k₃ при V = const.

Знову ми маємо константу k₃, залежну від маси газу і його обсягу. Термодинамічний процес при постійному обсязі називається ізохорним. Ізохори на графіку P (T) виглядають так само, як ізобари, тобто є прямими лініями.

Принцип Авогадро

При розгляді рівняння стану ідеального газу часто дають характеристику тільки трьом законам, які представлені вище і які є особливими випадками цього рівняння. Проте існує ще один закон, який прийнято називати принципом Амедео Авогадро. Він також представляє окремий випадок рівняння ідеального газу.

У 1811 році італієць Амедео Авогадро в результаті численних експериментів з різними газами прийшов до наступного висновку: якщо тиск і температура в газовій системі зберігається, то її обсяг V знаходиться в прямій пропорційності від кількості речовини n. При цьому неважливо, який хімічної природи є речовина. Авогадро встановив наступне співвідношення:

n / V = k_4,

де константа k₄ визначається тиском і температурою в системі.

Принцип Авогадро іноді формулюють так: обсяг, який займає 1 моль ідеального газу при даній температурі і тиску, є завжди одним і тим же, незалежно від його природи. Нагадаємо, що 1 моль речовини-це число N_A, відображає кількість елементарних одиниць (атомів, молекул), що складають речовину (N_A = 6,02 * 10²³).

Закон Менделєєва-Клапейрона

Тепер настав час повернутися до головної теми статті. Будь-який ідеальний газ у рівновазі може бути описаний наступним рівністю:

P * V = n * R * T.

Цей вислів називається законом Менделєєва-Клапейрона - за прізвищами вчених, які внесли величезний вклад в його формулювання. Закон говорить, що добуток тиску на об`єм газу є прямо пропорційним добутку кількості речовини цього газу на його температуру.

Клапейрон вперше отримав цей закон, узагальнюючи результати досліджень Бойля-Маріотта, Шарля, Гей-Люссака і Авогадро. Заслуга ж Менделєєва в тому, що він надав основному рівнянню ідеального газу сучасну форму, ввівши константу R. Клапейрон у своїй математичній формулюванні використовував набір констант, що робило незручним використання цього закону для вирішення практичних задач.

Введена Менделєєвим величина R називається універсальної газової постійної. Вона показує, яку роботу здійснює 1 моль газу будь-якої хімічної природи в результаті ізобарного розширення при збільшенні температури на 1 Кельвін. Через постійну Авогадро N_A і константу Больцмана k_B ця величина розраховується так:

R = N_A * k_B = 8,314 Дж/(моль*К).

Виведення рівняння

Сучасний стан термодинаміки і статистичної фізики дозволяє отримати декількома різними способами рівняння ідеального газу, записане в попередньому пункті.

Перший спосіб полягає в узагальненні всього двох емпіричних законів: Бойля-Маріотта і Шарля. З цього узагальнення випливає вид:

P * V / T = const.

Саме так вчинив Клапейрон в 30 - і роки XIX століття.

Другий спосіб полягає в залученні положень МКТ. Якщо розглянути імпульс, який передає при зіткненні зі стінкою судини кожна частка, врахувати зв`язок цього імпульсу з температурою, а також врахувати число частинок N в системі, то можна записати з кінетичної теорії рівняння ідеального газу в такому вигляді:

P * V = N * k_B * T.

Помноживши і поділивши праву частину рівності на число N_A, ми отримаємо рівняння в тому вигляді, в якому воно записано в пункті вище.

Існує третій більш складний спосіб отримання рівняння стану ідеального газу - з статистичної механіки з використанням поняття вільної енергії Гельмгольца.

Запис рівняння через масу газу і щільність

Вище на малюнку записано рівняння газу ідеального. У ньому фігурує кількість речовини n. Однак на практиці часто відома змінна або постійна маса ідеального газу m. В цьому випадку рівняння запишеться в такій формі:

P * V = m / M * R * T.

M-маса молярна для даного газу. Наприклад, для кисню O₂ вона дорівнює 32 г / моль.

Нарешті, перетворюючи останній вираз, можна переписати його так:

P = ρ / M * R * T

Де ρ-щільність субстанції.

Суміш газів

Суміш ідеальних газів описується так званим законом Дальтона. Цей закон випливає з рівняння ідеального газу, яке застосовується для кожного компонента суміші. Дійсно, кожен компонент займає весь обсяг і має однакову з іншими компонентами суміші температуру, що дозволяє записати:

P = ∑_iP_i = R * T / V * ∑_in_i.

Тобто повний тиск в суміші P дорівнює сумі парціальних тисків P_i всіх компонент.