Закон максвелла. Розподіл максвелла по швидкостях

Вивчення властивостей газового агрегатного стану матерії є одним з важливих напрямків сучасної фізики. Розглядаючи гази в мікроскопічному масштабі, можна отримати всі макроскопічні параметри системи. У даній статті буде розкрито важливе питання молекулярно-кінетичної теорії газів: що собою являє розподіл Максвелла молекул за швидкостями.

Історичний нарис

Ідея про ГАЗ як системи, що складається з мікроскопічних рухомих частинок, виникла ще в античній Греції. Щоб вона отримала свій розвиток, науці знадобилося більше 1700 років.

Основоположником сучасної молекулярно-кінетичної теорії (МКТ) газу справедливо вважати Данила Бернуллі. У 1738 році він опублікував роботу, яка називалася "Гідродинаміка". У ній Бернуллі виклав ідеї МКТ, використовувані до теперішнього часу. Так, вчений вважав, що гази складаються з частинок, які хаотично рухаються у всіх напрямках. Численні зіткнення частинок зі стінками судин сприймаються, як наявність в газах тиску. Швидкості частинок тісно пов`язані з температурою системи. Спільнота вчених не прийняла сміливих ідей Бернуллі, оскільки ще не було встановлено закон про збереження енергії.

Згодом багато вчених займалися побудовою кінетичної моделі газів. Серед них слід відзначити Рудольфа Клаузіуса, який в 1857 році створив просту газову модель. У ній вчений приділив особливу увагу наявності поступальних, обертальних і коливальних ступенів свободи у молекул.

У 1859 році, вивчаючи роботи Клаузіуса, Джеймс Максвелл сформулював так званий розподіл Максвелла по швидкостях молекул. По суті, Максвелл підтвердив ідеї МКТ, підкріпивши їх математичним апаратом. Згодом Людвіг Больцман (1871 рік) узагальнив висновки розподілу Максвелла. Він постулював більш загальний статистичний розподіл молекул за швидкістю та енергією. Воно в даний час відомо, як розподіл Максвелла-Больцмана.

Ідеальний газ. Основні постулати МКТ

Щоб зрозуміти, що собою являє функція розподілу Максвелла, необхідно чітко розібратися з системами, для яких ця функція може бути застосована. Йдеться про ідеальний газ. У фізиці під цією концепцією розуміють текучу субстанцію, яка складається з практично безрозмірних частинок, що не володіють потенційною енергією. Ці частинки рухаються з великими швидкостями, тому їх поведінка повністю визначається кінетичною енергією. Більш того, дистанції між частинками занадто великі в порівнянні з їх розмірами, тому останніми нехтують.

Ідеальні гази описуються в рамках МКТ. Основними її постулатами є наступні:

• газові системи складаються з величезного числа вільних частинок;
• частинки хаотично рухаються з різною швидкістю в різних напрямках по прямих траєкторіях;
• частинки стикаються зі стінками судин пружно (ймовірність зіткнення частинок один з одним невелика, зважаючи на їх малих розмірів);
• температура системи однозначно визначається середньою кінетичною енергією частинок, яка зберігається в часі в разі встановлення в системі термодинамічної рівноваги.

Закон розподілу Максвелла

Якби людина володіла приладом, за допомогою якого можна було виміряти швидкість окремої молекули газу, то, провівши відповідний експеримент, він був би здивований. Експеримент би показав, що кожна молекула будь-якої газової системи рухається з абсолютно довільною швидкістю. При цьому в рамках однієї системи, що знаходиться в тепловій рівновазі з навколишнє середовище, були б виявлені як дуже повільні, так і дуже швидкі молекули.

Закон розподілу Максвелла по швидкостях молекул газу являє собою інструмент, що дозволяє визначити ймовірність виявлення частинок із заданою швидкістю v в досліджуваній системі. Відповідна функція виглядає наступним чином:

f(v) = (m/(2*pi*k*T))^3/2*4*pi*v²*exp(-m*v²/(2*k*T)).

У цьому виразі m-маса частинки (молекули), k-константа Больцмана, T - абсолютна температура. Таким чином, якщо відома хімічна природа частинок (значення m), то функція f (v) однозначно визначається абсолютною температурою. Функція f (v) називається щільністю ймовірності. Якщо взяти від неї інтеграл для деякої межі швидкостей (v; v + dv), то ми отримаємо кількість частинок N_i, які мають швидкості в зазначеному проміжку. Відповідно, якщо взяти інтеграл від щільності ймовірності f (v) для меж швидкостей від 0 до∞, то ми отримаємо повне число молекул N в системі.

Графічне зображення щільності ймовірності f (v)

Функція щільності ймовірності має дещо складний математичний вигляд, тому нелегко уявити її поведінку при даній температурі. Цю задачу можна вирішити, якщо зобразити її на двовимірному графіку. Схематичний вигляд графіка розподілу Максвелла зображений нижче на малюнку.

Ми бачимо, що він починається з нуля, оскільки швидкість v молекул не може мати негативних значень. Закінчується графік десь в області великих швидкостей, плавно спадаючи до нуля (f (∞)->0). Також впадає в очі наступна особливість: плавна крива є несиметричною, вона більш різко убуває для невеликих значень швидкостей.

Важливою особливістю поведінки функції щільності ймовірності f (v) є наявність на ній одного вираженого максимуму. Відповідно до фізичного значення функції, цей максимум відповідає найбільш вірогідному значенню швидкостей молекул у газовій системі.

Важливі види швидкості для функції f (v)

Функція щільності ймовірності f (v) і її графічне зображення дозволяють дати визначення трьом важливим видам швидкості.

Першим видом швидкості, який є очевидним, і який був згаданий вище, є найбільш ймовірна швидкість v₁. На графіку її значення відповідає максимуму функції f (v). Саме цю швидкість і близькі до неї значення матимуть більшість частинок системи. Обчислити її не представляє особливих труднощів, для цього достатньо взяти першу похідну за швидкістю від функції f (v) і прирівняти її нулю. В результаті проведення зазначених математичних операцій отримуємо кінцевий результат:

v₁ = √(2*R*T/M).

Тут R-універсальна газова постійна, M-молярна маса молекул.

Другим видом швидкості є середнє її значення для всіх n частинок. Позначимо її v₂. Розрахувати її можна, якщо проінтегрувати функцію v * f (v) по всіх швидкостях. Результатом зазначеного інтегрування буде наступна формула:

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)).

Оскільки співвідношення 8 / pi>2, то середня швидкість завжди дещо більше, ніж найбільш ймовірна.

Кожна людина, яка трохи знайома з фізикою, розуміє, що середня швидкість v₂ молекул повинна мати велике значення в газовій системі. Проте це помилкове судження. Набагато важливішою є середня квадратична швидкість. Позначимо її v₃.

Згідно з визначенням, середня квадратична швидкість є сумою квадратів індивідуальних швидкостей всіх частинок, поділена на число цих частинок, і взята під квадратний корінь. Розрахувати її для розподілу Максвелла можна, якщо визначити інтеграл по всіх швидкостях від функції v²*f(v). Формула для середньої швидкості квадратичної набуде вигляду:

v₃ = √(3*R*T/M).

Рівність показує, що ця швидкість більша за Значення v₂ і v₁ для будь-якої газової системи.

Таким чином, всі розглянуті види швидкостей на графіку розподілу Максвелла лежать або на екстремумі, або правіше його.

Важливість величини v3

Вище було відзначено, що швидкість середня квадратична є більш важливою для розуміння фізичних процесів і властивостей газової системи, ніж проста середня швидкість v₂. Це дійсно так, оскільки кінетична енергія ідеального газу залежить саме від величини v₃, а не від v₂.

Якщо розглядати одноатомний ідеальний газ, то для нього справедливо наступний вираз:

m*v₃²/2 = 3/2*k*T.

Тут кожна частина рівності являє собою кінетичну енергію однієї частинки масою m. Чому в вираженні варто саме величина v₃, а не середня швидкість v₂? Дуже просто: при визначенні кінетичної енергії кожної частинки її індивідуальна швидкість v зводиться в квадрат, потім всі швидкості складаються і діляться на кількість частинок N. Тобто сама процедура визначення кінетичної енергії призводить до величини середньої квадратичної швидкості.

Залежність функції f (v) від температури

Вище ми встановили, що щільність ймовірності швидкостей молекул однозначно залежить від температури. Як буде змінюватися функція, якщо збільшувати або зменшувати величину T? Відповісти на це питання допоможе графік нижче.

Видно, що нагрівання закритої системи призводить до розмазування піку і його зміщення в бік більш високих швидкостей. Збільшення температури призводить до збільшення всіх видів швидкостей і до зменшення щільності ймовірності кожної з них. Значення піку зменшується через збереження кількості частинок N в закритій системі.

Далі, вирішимо пару завдань для закріплення отриманого теоретичного матеріалу.

Завдання з молекулами азоту в повітрі

Необхідно розрахувати швидкості v₁, v₂ і v₃ для азоту повітря при температурі 300 до (близько 27 ^oC).

Молярна маса азоту N₂ дорівнює 28 г / моль. Користуючись наведеними формулами, отримуємо:

v₁ = √(2*R*T/M) = √(2*8,314*300/0,028) = 422 м/с;

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)) = √(8*8,314*300/(3,14*0,028)) = 476 м/с;

v₃ = √(3*R*T/M) = √(3*8,314*300/0,028) = 517 м/с.

Завдання з киснем в балоні

Кисень в балоні знаходився при деякій температурі T₁. Потім балон помістили в більш холодне приміщення. Як зміниться графік розподілу Максвелла по швидкостях для молекул кисню, коли система прийде в термодинамічну рівновагу?

Згадуючи теорію, можна відповісти так на питання задачі: значення всіх видів швидкостей молекул зменшаться, пік функції f (v) зміститься вліво, стане більш вузьким і більш високим.